바퀴를 잡을 때는 머리를 쓰는 것보다 빨리 내려치는 것이 중요하다고 했는데 이 말에는 모순이 존재합니다. 먼저, 이 바퀴들이 너무 많아서 모두 잡을 수가 없습니다. 둘째로 저희 집에 있는 바퀴는 광속으로 이동이 가능합니다. 그리고 저는 광속으로 이동하는 물체를 내려칠 만한 힘이 없습니다. 따라서 전 저희 집에 있는 바퀴를 내려칠 수 없습니다. 여기서 광속이라는 것은 제가 보기에 그렇다는 것이지 실제로 그렇다는 것이 아닙니다. 모든 속도는 빛의 속도보다 빠를 수 없으므로 특수상대성이론의 로렌츠 변환식(L=L0√1-v²/c²)의 근호 안의 값은 1보다 작아지게 됩니다. 따라서 달리면서 측정한 길이는 정지해서 측정한 길이보다 짧아집니다. 따라서 어떤 물질이 빛의 속도에 가까워질수록 질량은 급격히 증가하게 되며 무거워진 질량의 속도를 유지하면서 빛의 속도에 가까워지기 위해선 무한대의 에너지가 필요하기 때문에 빛보다 빠른 물질은 존재할 수 없다는 것입니다. 제가 저희 집 바퀴의 속력을 측정해본 결과 2.85×1010cm/sec의 엄청난 속도였고 이 속도는 광속인 2.997×1010 cm/sec에 근접하는 속도였습니다. 초고속 적외선 카메라로 측정한 결과 광속으로 움직여 보이지 않던 바퀴들이 보이게 되었습니다.

전 그래서 바퀴의 이동 패턴을 분석해 보기로 했습니다. 다음과 같은 좌표공간 xyz가 있습니다. 이 공간에 (벡터p-벡터a)?벡터n=0, 즉, a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0인 평면 위에서 바퀴들의 패턴을 보니 주로 x^3+2x^2-2x+1=0 과 같은 그래프를 그리며 이동을 하고 있었습니다. 이곳 중 임의의 점에 트랩을 설치해서 잡으려고 하는데요.

바퀴의 몸은 타원형입니다. 저희 집 바퀴는 약 1cm 정도기 때문에 x²/a²+ y²/b²=1의 면적을 구해보겠습니다. y = ±b√(1 - x²/a²) 이 되고, 타원의 면적은 0에서 a까지 y = b√(1 - x²/a²)를 적분한 것의 4배가 됩니다. S = 4∫b√(1 - x²/a²)dx (0≤x≤a) 치환 x = a sinθ, ∴ dx = a cosθ dθ

S = 4b∫√(1-sin²θ) a cosθ dθ (0≤θ≤ㅠ/2)

= 4ab∫cos²θ dθ (0≤θ≤ㅠ/2)

= 2ab ∫(1 + 2cos2θ) dθ (0≤θ≤ㅠ/2)

= 2ab [θ - (1/2)sin2θ] (0≤θ≤ㅠ/2)

= ㅠab

바퀴 몸면적은 ㅠ 곱하기 1 곱하기 1이 되므로 1cm^2이 됩니다. 또 바퀴 몸 부피를 구하게 되면 바퀴의 몸이 타원이므로 몸은 타원을 회전축으로 회전시킨 타원체가 됩니다. 여기서 x^2 + y^2 + z^2 = a^2의 부피는 4/3 π a^3입니다. y = au/b, z = av/c로 두면 (x/a)^2 + (u/b)^2 + (z/c)^2 = 1이 됩니다. coordinate system을 바꾼거니까 이 (x, u, v) system에서 타원체의 부피를 (x, y, z) system에서 triple integral로 구하면 ∫∫∫| J(x, y, z) | dV, J는 Jacobian matrix, |J|는 그 determinant입니다.

J(x, y, z) =dx/dx dx/dy dx/dz

du/dx du/dy du/dz

dv/dx dv/dy dv/dz

= 1 0 0

0 b/a 0

0 0 c/a

그래서 |J(x, y, z)| = 1*(b/a)*(c/a) = bc/a^2, 상수이고 ∫∫∫dV 는 앞에서 구했듯이 4/3 π a^3이니까 구하는 타원체의 부피는 4/3 π a^3 * (bc/a^2) = 4/3 π abc입니다.

z축에 수직인 평면으로 타원체를 잘랐을 때 나온 단면이 타원이고 타원의 넓이가 π ab, ab는 장축*단축이니까 이 단면의 넓이를 z축을 따라서 -c부터 c까지 적분하면 됩니다.

x=u , y=2v, z=3w 로 치환시 표준타원체는 단위구로 바뀌게 되며 이때 야코비값은 

 여기서 타원면을 매개화합니다.

a, b, c는 각각 x, y, z축 방향으로의 반경입니다.

그런데 또 이 이동 패턴이 주기적으로 바뀌기까지 했습니다. 그래서 계속해서 측정해본 결과 대수의 법칙을 이용하게 되었습니다. n개의 사건 중에서 성질 A를 가지는 것이 r개 있으면, r/n는 A가 일어나는 비율로 생각할 수 있는데, 관찰하는 횟수 n을 크게 함에 따라 r/n는 일정한 값 P에 한없이 가까워집니다. 이것이 큰수의 법칙이며, 가장 간단한 경우는 ‘베르누이의 정리’에서 설명되고 이것들을 올바로 이해하려면 엄밀한 정의(定義)에 의존해야 하나, 여기서는 통계에서의 규칙성의 문제로 일반적인 예를 듭니다. 따라서 이 대수의 법칙을 이용해서 통계적 확률이 lim P(lx/n-pl<k) = 1ⁿ-∞ 수학적 확률에 가까이 간다는 의미입니다. 결과 이동 패턴이 y=x^2/x logxn/ln2+sinxcosecx로 변하는 확률은 1/6에 가까워지고 있었습니다.

바퀴를 모두 잡았으면 모아서 버려야죠. 최대한 상자에 꽉 채워서 버리려고 하는데 이건 케플러의 공 쌓기 문제 응용이 필요합니다. 규칙적으로 원을 배열할 때 어떻게 배열하는 것이 가장 좋을까?, 둘째, 규칙적인 배열이 가장 공간을 절약할 수 있는가? 이 두 가지였습니다. 첫 번째 문제는 케플러 추측 150년 후의 1773년 유명한 수학자 ‘라그랑즈’에 의해서 해결이 되는데, 그는 과일을 쌓을 때 1단을 쌓는 모양으로() 쌓으면 가장 효과적것이라고 추측했습니다. 즉, 한 원에 접하는 여섯 개의 원의 중심이 정육각형의 꼭지점이 되도록 () 배열하는 것이 가장 효과적임을 보였습니다. 어려운 것은 두 번째 문제였는데 아래 그림만 보더라도 규칙적으로 배열한 1번 보다 불규칙적인 2번이, 규칙적인 3번보다. 불규칙적인 4번이 더 많은 원이 들어가게 배치할 수 있는 문제점이 생깁니다.

1                         2                       3                          4

문제는 공간에서인데 공간에서는 최대 효용률이 74%까지는 가능하다고 했지만 그 이상은 모릅니다. 이 또한 증명이 필요합니다. 그것도 구형이 아니라 바퀴와 같은 타원체를 가지고 해야죠.

전 이 문제를 어떻게 풀어야 할지 모르겠습니다. 세스코맨을 부를 처지는 되지 않지만 이 식들을 세울 수는 있는데 풀지는 못하겠어요. 세스코맨은 이 식들 다 해결할 수 있을 거라 믿습니다